Con la partecipazione della più celebre coppia di Hollywood in veste di mascotte.

sabato 12 luglio 2014

Calcio e matematica: il girone a quattro

Come funziona un girone a quattro squadre, come quello del primo turno della fase finale dei mondiali di calcio? Quanti punti può fare una squadra, e in quanti modi può farlo? Quante sono e quali sono le classifiche possibili? Quali sono gli esiti più probabili? Quali quelli meno probabili? Mentre mi godo i mondiali in poltrona (l'uso residuo del verbo godere, dopo il deprimente spettacolo offerto dalla nazionale italiana, è per lo più dovuto al frittatone con cipolle, alla familiare di Peroni gelata e al rutto libero) la mia mente di matematico confuso e arrugginito è preda di un arrovellamento ozioso, che a letto, a notte fonda, continua ad avvitarsi diabolicamente. I risultati, però, sono sorprendenti.


Nel girone a quattro squadre ogni squadra disputerà 3 partite, e le partite in tutto saranno 6. Ognuna delle 6 partite distribuirà ai contendenti un totale di 2 punti (1 per squadra, in caso di pareggio) oppure di 3 punti (tutti alla vincente, in caso che una delle squadre vinca la partita).

Quanti punti può fare una squadra? Qual è il suo punteggio finale più probabile? E' immediato verificare che una squadra non può in nessun modo concludere il girone con 8 punti, per cui i possibili punteggi finali sono 9, ovvero: 0,1,2,3,4,5,6,7, oppure 9. Se supponiamo che i tre risultati possibili di ciascuna partita (vince una, vince l'altra, oppure pareggiano) siano equiprobabili (naturalmente si tratta solo di un'ipotesi di lavoro), risulta che i punteggi finali di una squadra non sono tutti equiprobabili. Se indichiamo con L,D,W (Lost, Draw, Win) i tre possibili esiti delle tre partite che una squadra deve affrontare, vediamo che gli esiti possibili sono 27: LLL, LLD, LLW, LDL, LDD, LDW, LWL, LWD, LWW, DLL, DLD, DLW, DDL, DDD, DDW, DWL, DWD, DWW, WLL, WLD, WLW, WDL, WDD, WDW, WWL, WWD, WWW; di questi ben 6 casi producono 4 punti in classifica, che quindi, in un certo senso, risulta essere il punteggio finale più probabile, e 4 casi conducono a 3 punti. Tutti gli altri punteggi si conseguono in 3 casi su 27, tranne il punteggio pieno (9 punti) e quello nullo (zero punti), che sono più improbabili, dato che hanno un solo caso favorevole su 27. Da notare che se, impropriamente, si prescindesse dall'ordine delle tre partite, si potrebbe pensare che i casi possibili fossero 10, ovvero: LLL, LLD, LLW, LDD, LDW, LWW, DDD, DDW, DWW, WWW, e questo porterebbe alla conclusione (errata) che il punteggio finale più probabile sia 3 (ma questo metodo, che per esempio considera equiprobabili LLL e LLD non tiene conto del fatto che mentre il primo caso si verifica solo se la squadra viene sempre sconfitta, il secondo caso, ovvero due sconfitte e un pareggio, ha una probabilità tripla, perché può verificarsi pareggiando con una qualsiasi delle altre tre squadre).

Quante sono le possibili classifiche finali? Qual è la più probabile? Dato che ognuna delle sei partite distribuisce al massimo 3 punti, la somma dei punteggi delle quattro squadre, a girone concluso, non potrà superare 18. Ma i punteggi finali delle squadre sono legati: per esempio è facile rendersi conto di come sia impossibile che più di una squadra termini a punteggio pieno (ovvero con 9 punti). Dato che gli esiti possibili di ciascuna partita sono tre (vince l'una, vince l'altra oppure pareggiano) e le partite sono 6, si hanno 729 (ovvero 3 elevato alla sesta) casi diversi.

Ma più casi possono portare a una stessa classifica finale, per cui il numero totale delle possibili classifiche finali è in realtà pari a 557. Se per fissare le idee le nostre squadre sono i Rossi, i Verdi, i Gialli e i Blu, ecco un esempio pratico in cui si vede come due casi diversi producono la stessa classifica finale: 

Rossi - Gialli:       vincono i Rossi                          vincono i Rossi    
Rossi - Verdi:      vincono i Rossi                           pareggio
Rossi - Blu:         pareggio                  oppure:       vincono i Rossi
Gialli - Verdi:      pareggio                                      vincono i Gialli
Gialli - Blu:         vincono i Gialli                           pareggio
Verdi - Blu:        vincono i Verdi                            vincono i Verdi

In entrambi i casi, infatti, la classifica finale è: Rossi: 7, Gialli: 4, Verdi: 4, Blu: 1.

Nel totale dei 557 casi diversi ovviamente si distingue tra classifiche formate dagli stessi 4 punteggi, ma distribuiti diversamente tra le quattro squadre.  Quel che intendo dire è che, se esprimiamo la classifica finale con un numero di 4 cifre, il cui ordine permetta di attribuire la prima cifra ai Rossi, la seconda ai Gialli, eccetera, abbiamo considerato 7441 e  4714 come due casi distinti, dato che, tra l'altro, nel primo caso sono i Rossi a vincere il girone, e nel secondo caso sono i Gialli. Ma dato che noi non siamo tifosi né dei Rossi, né dei Gialli, né dei Verdi, né dei Blu, può essere interessante chiedersi quante sono le possibili classifiche finali prescindendo dall'ordine, ovvero senza distinguere le squadre. Sarà allora sorprendente scoprire che il numero di classifiche finali è in realtà piuttosto basso: appena 42. Le classifiche possibili, infatti sono: 3333, 4443, 4444, 5332, 5432, 5442, 5443, 5522, 5531, 5532, 5541, 5550, 6333, 6442, 6443, 6522, 6541, 6633, 6641, 6660, 7322, 7422, 7431, 7432, 7433, 7441, 7521, 7531, 7540, 7621, 7631, 7640, 7711, 7730, 9222, 9333, 9421, 9431, 9440, 9611, 9630, 9633. Continuando a supporre che i tre possibili esiti di ciascuna partita siano equiprobabili, e che, conseguentemente, ciascuna delle 729 classifiche finali abbia la stessa probabilità di verificarsi delle altre, i 42 casi elencati sopra non sono equiprobabili. Ecco il loro elenco, completato dall'indicazione della corrispondente probabilità p, dal più probabile al meno probabile:

p=36/729:  6443, 7441.
p=24/729:  5432,  5442,  5443,  5541,  6442,  6541,  6641,  7422,  7431,  7432,  7433,  7521,  7531,  7540,  7621,  7631,  7640,  9421,  9431,  9630.
p=22/729:   6633.
p=12/729:   6522, 5332, 5522, 5531, 5532, 7322, 7730, 9440, 9611.
p=8/729:     6660, 9333, 4443.
p=6/729:     7711, 4444.
p=4/729:     9222, 5550.
p=1/729:     9633, 3333, 6333.

In particolare, la probabilità che al termine di un girone sia necessario ricorrere all'esame degli scontri diretti o della differenza reti per distinguere quale coppia di squadre passerà il turno, dato che i casi ambigui sono 6443, 7441,  5442,  5443,  6442,  5332,  9440,  6660,  9333,  4443,  4444,  9222,  5550,  3333,  6333, è pari a p=188/729.

Per la cronaca, le otto classifiche uscite dai gironi della prima fase dei mondiali brasiliani sono: 7730, 9630, 9431, 7631, 7640, 9431, 7441, 9421. In pratica si tratta di otto combinazioni tra le più probabili, avendo probabilità 36/729, 24/729 oppure 12/729.

E ora, in bocca al lupo alle nazionali di Germania e Argentina, e vinca il migliore!




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