Ti conosco mascherina

Le mascherine servono o non servono? Le linee guida dell'OMS sulla pandemia da Covid-19 pubblicate ad aprile dicevano che dovevano indossarle solo i malati e gli operatori sanitari; l'ultima revisione ne raccomanda l'uso anche nei luoghi pubblici, specie al chiuso, ma è ben lungi da consigliarne l'uso a tappeto. Nel frattempo però la maggior parte delle nazioni ha dato alla battaglia delle mascherine un'importanza fondamentale della guerra contro il Coronavirus. Ma insomma, queste misure protettive servono veramente, o danno solo un falso senso di sicurezza? Proviamo a chiederlo alla matematica. La risposta, non tanto sorprendente, è che sì, le misure di profilassi sanitaria servono eccome.

Un sorprendente inciso: un ricercatore padovano ha scoperto che, piuttosto antiintuitivamente, l'uso delle mascherine aumenta la distanza sociale, e quindi è certamente efficace in modo indiretto. Quando incontriamo una persona che indossa la mascherina, insomma, ci ricordiamo della pandemia e ci comportiamo di conseguenza; quando incontriamo una persona che non la indossa, invece, tendiamo a ridurre le distanze. Paradossale ma vero. Inoltre è ovvio che se uno non indossa la mascherina in un luogo pubblico, e malauguratamente gli scappa uno starnuto, certamente passerà un brutto quarto d'ora.

Ma non è di questo che volevo parlare: quel che voglio fare, ancora una volta, è interpellare la matematica. 

Ci sono molti tipi di mascherine mediche, con proprietà protettive diverse, ma su una cosa esperti e divulgatori sembrano concordare: l'uso della mascherina da parte di una persona è più efficace a proteggere gli altri da un eventuale contagio che non la persona stessa. 

Supponiamo allora che in media, entrando in contatto ravvicinato per un certo tempo con una persona contagiosa, in assenza di presidi sanitari, la probabilità di subire il contagio sia data da un certo valore p<1. Se la persona sana che stiamo considerando indossa la mascherina e l'untore no, tale probabilità si ridurrà di un fattore M<1: p'=Mp. Se a indossare la mascherina è l'untore, e non la persona che stiamo considerando, la probabilità sarà un po' minore: p'=mp, con m<M. Se la indossano entrambi sarà p'=mMp che ovviamente è minore sia di mp che di Mp. 

Assumiamo un punto di vista scettico. Supponiamo pure che in generale le mascherine non siano un presidio sanitario efficace contro il Coronavirus, e che quindi sia m che M, e forse anche mM, siano solo di poco minori di uno. 

Ora supponiamo che ogni giorno, una persona entri in contatto con n persone, su una popolazione totale di N (con n<<N), e che su questa popolazione totale vi siano C<N persone contagiose che possano muoversi liberamente. La percentuale c=C/N di persone contagiose sulla popolazione totale si ripercuoterà sul numero n di persone con cui si entra in contatto ogni giorno. In altre parole ogni giorno incontreremo cn persone contagiose. Sul totale della popolazione, inoltre, una certa percentuale h=H/N indosserà la mascherina (dove H<N è il numero totale di coloro che indossano abitualmente la mascherina). Anche questo si ripercuoterà sulle persone contagiose incontrate, di cui quindi cnh indosseranno la mascherina e cn(1-h) invece no. 

Per cui se una persona indossa la mascherina, ogni giorno la sua probabilità di venir contagiata sarà: P=Mpcn[(m-1)h+1], se non la indossa sarà:  P=pcn[(m-1)h+1]. La differenza tra questi due numeri è ovviamente minima (abbiamo detto che M è circa 1). 

Ma, anche considerando il caso in cui una persona non indossa la protezione, la probabilità di esser contagiati dipende in ogni caso in modo cruciale dalla percentuale h di persone che la indossano. E' anzi possibile, entro certi limiti, minimizzare, in un certo senso, la probabilità P, renderla, per esempio, minore di un certo valore dato E, pur di poter in corrispondenza aumentare la percentuale h. In poche parole il comportamento virtuoso della popolazione in generale, protegge l'individuo, virtuoso o meno che sia. 

Risulta in particolare P<E  purché sia h>(1-EN/pCn)/(1-m). Il limite è che non si deve pretendere che E sia più piccolo anche del valore limite mpCn/N; infatti per ridurre ulteriormente la probabilità del contagio bisognerebbe imporre la mascherina a un numero di individui maggiore del totale N, il che è ovviamente impossibile.

Questo è quel che vien fuori da un modello matematico semplice e rozzo, che abbiamo studiato per gioco, e che però è istruttivo. Cosa ci insegna? Vediamolo insieme.

Bisogna usare allora la mascherina? Sì, certo! Se la usano in pochi sono guai per tutti, inclusi noi stessi. 

Bisogna lavarsi e disinfettarsi spesso le mani? Bisogna attuare il distanziamento sociale? Sì, certo! Per quanto riguarda il distanziamento sociale e il lavaggio e la disinfezione frequente delle mani, in generale c'è più consenso che sull'uso delle mascherine, ma ovviamente anche il rispetto di queste norme non fornisce garanzie, e si potrebbe estendere il ragionamento precedente, concludendo che anche questi comportamenti, se adottati da un numero sufficiente di persone, proteggono la collettività più che l'individuo stesso. In poche parole potete rispondere a chi accusa le misure di protezione sanitaria di essere poco efficaci, che esse invece sono efficaci a livello statistico e di popolazione, e quindi, di riflesso, anche sull'individuo.

Se uso la mascherina, mi lavo sempre le mani, e mi tengo per quanto possibile a distanza dalla gente, posso star sicuro che non verrò mai contagiato? No, ma se questi comportamenti sono attuati da tutti, i contagiati saranno il minor numero possibile.

Se non uso mai la mascherina, non mi lavo le mani, ecc... Sarò certamente contagiato? No, ma se la gente si comportasse così, saremmo tutti nei guai.

Se di solito prendo ogni precauzione, e una volta, per errore, ho dimenticato di usare la mascherina/lavarmi le mani/rispettare le distanze, devo disperarmi? No: le norme di prevenzione, lo abbiamo spiegato, sono efficaci a livello statistico, meno a livello individuale, per cui se una volta hai commesso un errore non preoccuparti, ma continua, di regola a rispettarle.